יסודות החשבון: חשיבה כמותית בגיל הרך

סימני דרך במוכנות לחשבון:

תהליך ההתפתחות הקוגניטיבית (שכלית) כולל בתוכו גם את ההבנה הכמותית, החשיבה הלוגית והשליטה במיומנויות חשבון בסיסיות.

לימודי החשבון נלמדים באופן הירארכי, נדבך על גבי נדבך, ועובדות היסוד מהוות את הבסיס לרכישת ידע חדש ומתקדם יותר. בדומה לתחומי ההתפתחות האחרים, גם תפקודי החשבון מתפתחים בהדרגה מן הקל אל המורכב יותר. כך למשל, לא ניתן לרכוש שליטה במניפולציות של חיבור וחיסור בלא להבין את יחסי הגודל בין הכמויות השונות. לפני שנבין את פעולת הכפל עלינו להבין את פעולת החיבור.

מה כוללת החשיבה המתמטית? מה הם השלבים בתהליך ההבשלה של היכולת החשבונית, ואיזה מיומנויות כדאי לתרגל עם ילדים בגיל הרך על מנת שיוכלו להתמודד וליהנות ממקצוע החשבון?

איזה ידע נדרש ומה כוללת החשיבה הכמותית?

1. משמעות סידורית:

• ספירה: זכירה אוטומטית של ציר המספרים מ 10 – 0 בטור עולה. בנוסף, על סף המעבר לכיתה א, נדרשת גם יכולת לזכור את ציר המספרים בטור יורד, יחד עם ספירת המשך שמתבטאת ביכולת להמשיך את הספירה גם ממספר שאינו 1.
• מספר סודר: ראשון, שני, אחרון, באמצע, לפני אחרון, וכ"ו.
• סידור והשלמת ספרות ברצף הנכון בטור עולה, בטור יורד וממספר שאינו 1.

2. משמעות כמותית:

• התאמה חד - חד ערכית שמתבטאת ביכולת להתאים כל אחד מהאיברים שנמצאים בקבוצה אחת לכל אחד מהאיברים שנמצאים בקבוצה שנייה, כמו כוס אחת לכל צלחת, גבעול אחד לכל פרח, וכ"ו.
• מנייה נכונה של חפצים וסמלים שמסודרים בשורה, במעגל, בתבנית קביה ובתפזורת. 
• השוואה: היכולת להשוות בין קבוצות שונות על פי כמות האיברים שבכל קבוצה, והבנת היחס בין הכמויות השונות.
• השלמה לכמות מבוקשת
• הבנת חוק שימור כמות שמתבטאת בהבנה שהמרווח בין העצמים ו/או הצורה בה הם מסודרים אינם משפיעים על הכמות. כך למשל, כמות הצלחות בקבוצה 5 צלחות שמסודרות בערמה זהה לכמות של 5 צלחות שמונחות זו ליד זו.
• יכולת אומדן כמות גם ללא מניה.
• הסמלה והפשטה: הבנת המשמעות של הסמלים והייצוגים השונים משקפת את המעבר מחשיבה קונקרטית ומוחשית לחשיבה מופשטת. כך למשל, חלק ניכר מהילדים בגן חובה כבר מסוגלים לדמיין ולראות בעיני רוחם את הכמויות השונות בלי צורך באמצעי המחשה. הם יכולים להבין למשל שהספרה 9 מייצגת כמות גדולה יותר מהספרה 5.
• מניפולציות של חיבור וחיסור, ובהמשך גם מניפולציות של כפל וחילוק

3. שאלות מילוליות וסיפורים חשבוניים:

• סיפורים חשבוניים שמזמנים הבחנה בין עיקר לטפל בד בבד עם הבנת השפה החשבונית.
• שאלות מילוליות שמזמנות מניפולציות של חיבור וחיסור בתחום העשרת הראשונה

4. יחסי מרחב, הכרת הצורות ההנדסיות וגיאומטריה

• היכולת לייצג כמויות בסמלים גראפיים מהווה מרכיב יסודי בהתמודדות עם תרגילי חשבון שדורשים יכולת הכללה, הסמלה והפשטה. הכרת הספרות וסימני החשבון כוללים את יכולת הזיהוי, השיום, ההעתקה והכתיבה של הסמלים השונים. כל אלה דורשים הבשלה של מיומנויות גרפו מוטוריות לצד יכולת אבחנה וזיכרון חזותיים.
• זיהוי, שיום, העתקה והפקה של צורות גיאומטריות - עיגול, משולש, ריבוע ומלבן.
• הבנה והבעה של מושגי שפה מדוברת ושפה חשבונית, לרבות מושגי מרחב וגודל, מושגי סדר ומושגי יחס, כמו יותר ופחות, אחד והרבה, זוגי ואי זוגי, הוספה והפחתה, שווה ולא שווה, לפני, אחרי, בצד, באמצע, ראשון, שני.. אחרון, מעל - מתחת, מסביב, ועוד..

איך לפתח ידע חשבוני בבית ובגן הילדים?

הכרת המיקום הכמות והתפקיד של איברי הגוף השונים מהווה נדבך ראשוני וחשוב בתהליך הרכישה וההבנה של מושגי החשבון.

איך ללמוד חשבון דרך הגוף:

• ‍מושגי יסוד ומושגי מרחב: כמו למעלה, למטה, הצידה, מלפנים ומאחור, קדימה, אחורה והצידה.
• הבחנה בין השלם וחלקיו: לכולנו יש גוף אחד עם הרבה איברים, ראש אח שכולל את איברי הפנים, וכך גם לגבי ידיים או רגליים.
• הבחנה בין אחד לעומת הרבה: ראש אחד לעומת הרבה שערות, פה אחד לעומת הרבה שיניים, יד אחת או זוג ידיים / רגליים לעומת הרבה אצבעות, וכ"ו.‍‍
• הבחנה בין איברים בודדים לעומת איברים זוגיים: מצח אחד, בטן אחת או גב אחד לעומת זוג ידיים, זוג אוזניים או זוג כתפיים.
• ספירה ומניה, חיבור וחיסור: אצבעות כף היד מהוות חשבונייה זמינה וטבעית ביותר. הצמדת קצוות האצבעות של כף יד אחת לאצבעות של כף היד השנייה תמחיש לילד את המשמעות של התאמה חד – חד ערכית. ספירה חוזרת של האצבעות תעזור לו לזכור את רצף המספרים, למנות בטור עולה, ובהמשך הוא ילמד להכליל את הכמות לקבוצה שלמה תוך הבנת המבנה העשרוני. הכללת הכמות תסייע לו להבין את הרכב הכמות, ובהמשך לפתח ייצוג פנימי של הכמות בלא צורך לראות או למנות בכל פעם מחדש את העצמים שממחישים את הכמות. כך למשל, כשנפתח 7 אצבעות הוא יכול ללמוד שהכמות 7 מורכבת מ 2 אצבעות של כף יד אחת + 5 אצבעות של היד השנייה, כשנפתח 2 אצבעות בכל יד הוא לומד ש 4 = 2 + 2, וכ"ו.

חשבון כחלק מחיי היום -יום

בחיי היום יום כולנו מבצעים מגוון פעולות חשבון: אנחנו עורכים את מקומות הישיבה ואת כלי האוכל על השולחן בהתאם לכמות הסועדים, רוכשים מוצרי מזון בהתאם לאומדן הכמות הממוצעת שאנו צורכים מאותו מוצר, משווים מחירים, מחשבים את העודף שמגיע לנו, ומנהלים את התקציב שלנו. אנחנו עוקבים אחר מיקומנו בתור, מתכננים את סדר היום שלנו בהתאם ל"בנק הזמן" העומד לרשותנו, ומנסים לחלק "שווה בשווה" את ה"קלפים" שיש לנו.

עד כמה אנחנו מאפשרים לילדים שלנו לקחת חלק פעיל בחישובים הללו?

חשוב לזכור שילדים זקוקים לתיווך ותרגול חוזר גם בחשבון.

יתרה מכך: החשיפה וההתנסות בבעיות ממשיות מעולם המבוגרים מאתגרת את הילד למצוא פתרון הגיוני, רלוונטי ומשמעותי לבעיה. לפיכך, ככל שהילד יתנסה וייקח חלק פעיל יותר בפעולות יומיומיות כאלה ואחרות גדלים הסיכויים שתתפתח בהדרגה גם ההבנה החשבונית שלו.

למעשה כמעט כל דמות, חפץ או מוצר יכול לסייע לנו בהקניה ותרגול של מיומנויות חשבון. כך למשל ניתן למנות חטיפים וממתקים, כלי אוכל ובגדים, חלוקי נחל ועלים, מכוניות וספסלים, רהיטים וכמובן אנשים. מקלות ארטיק, קביות, כפתורים, מטבעות כסף, דסקיות, חרוזים, מדבקות, צבעים, חלקי לגו ומשחקי הרכבה אחרים הם אמצעי המחשה נוספים.

הנה כמה דוגמאות:

• עודדו את הילד למנות חפצים זהים וגם בלתי זהים. אחרי שהילד מנה שאלו אותו - "כמה חפצים יש פה?". דובבו אותו לציין את הכמות הכוללת מבלי למנות מחדש.
• משחקי קביה ומשחקי מסלול (לילדים שרכשו הבנה בפעולת החיבור אפשר להשתמש בשתי קביות בו זמנית), רמיקוב, דומינו, פיקולינו, לוטו, משחקי קלפים כמו מלחמה, טאקי, משחקי רביעיות, ועוד.
• דפי עבודה עם הוראות מכוונות כמו מתיחת קווים מספרה לספרה, התאמת כמות לכמות עם חפצים שונים ובארגון שונה, התאמת כמות לספרה, הקפת הכמות הקטנה או הגדולה ביותר, וכ"ו. 
• שימור כמות: בנו מגדל או רכבת של 10 קביות ושאלו את הילד כמה קביות במגדל. פרקו את המגדל ופזרו את 10 הקביות על השולחן. שאלו שוב "כמה קביות יש על השולחן?". עקבו אם הילד מופתע מהשאלה, כלומר, מבין שהכמות נותרה כשהייתה, ועונה מיד, או שמא הוא מונה מחדש את הקביות המפוזרות.
• מניפולציות של חיבור וחיסור: נסו להוסיף חפץ נוסף לקבוצה שכבר מנה ושאלו "כמה יש עכשיו?". עודדו אותו לענות מבלי לספור מחדש את כל החפצים. בהמשך נסו להוסיף יותר מחפץ אחד, לאחר מכן הפחיתו חפץ אחד ויותר.
• השלמה לכמות מבוקשת: בקשו מהילד לתת לכם כמות מסוימת של חפצים, למשל 3 קביות. שימרו בידכם את 3 הקביות שקבלתם, ואמרו לילד: "יש לי עכשיו 3 קביות, ואני רוצה שיהיו לי 5 קביות ביד. מה אפשר לעשות כדי שיהיה לי 5 ולא 3?".
• לאחר שהילד מבין את מיומנות ההוספה ניתן לאתגר אותו עם תרגילי הפחתה.: "עכשיו יש לי 5 קביות ביד. מה אפשר לעשות כדי שיישארו לי רק 2 קביות ביד?".
• ציר המספרים: תנו לילד כרטיסי ספרות מ 10 – 1 ובקשו ממנו לסדר אותם בסדר הנכון. לאחר שסידר את הכרטיסים על פי הרצף הנכון הפכו או הסתירו כרטיס כלשהו, ובקשו מהילד לנחש איזו ספרה חסרה לו.
• זיהוי כמות על פי 2 קריטריונים בו זמנית: תרגלו חידות שמתארות את היחס בין הכמויות: "אני חושבת על כמות שהיא גדולה מ – 4 אך קטנה מ – 6. נחש מי הספרה?".
• לאחר שהילד שולט במיומנויות אלה חשפו אותו לסיפורי חשבון שכוללים את ראשית הכפל. למשל: כמה ידיים יש לשני ילדים ביחד? כמה רגליים יש לשני כלבים יחד? כמה גלגלים יש לשלוש מכוניות יחד? בהמשך נסו גם שאלות חילוק כמו: לסבא היו 4 מדבקות והוא רצה לחלק אותן לשני נכדיו שווה בשווה. כמה מדבקות סבא נתן לכל אחד מהנכדים? לאמא היו 10 ₪ והיא חילקה אותם לשני ילדיה שווה בשווה. כמה שקלים קיבל כל אחד מהילדים?

סימנים שעלולים להצביע על קשיים בהבנה כמותית:

• קושי בתפיסה והבנה של מושגי גודל, סדר ומרחב.
• קושי בהכללת הכמות לקבוצה שלמה תוך הפשטה וייצוג מנטאלי של הכמויות השונות.
• קושי בזיכרון עבודה ובזיכרון שמיעתי לטווח קצר ו/או לטווח הארוך כמו קושי בזכירת ציר המספרים בטור עולה, בטור יורד וממספר שאינו 1, קושי בזכירת הכמות שהילד מנה או התבקש לתת, קושי בזכירת האיברים שכבר מנה מבלי לדלג או למנות שוב ושוב את אותו האיבר.
• חשיבה קונקרטית שמקשה על יצירת דימוי מנטאלי והבנת המשמעות של מונחים מתמטיים וסמלים גראפיים שמייצגים כמויות ופעולות מתמטיות כמו ציר המספרים, יותר, פחות, שווה, גדול מ.., קטן מ., ועוד.
• קושי בהבנת סיפורי חשבון ובהבחנה בין הוספה לבין החסרת איברים. למשל: היו לך 5 סוכריות ואכלת 2 מהן. כמה סוכריות נשארו לך? דני קלע 3 כדורים לסל ואחר כך קלע עוד 4 כדורים. כמה כדורים דני קלע?
  

לסיכום:

 בדומה להליך רכשת הקריאה והכתיבה, גם לימודי החשבון דורשים הבשלה של מספר תפקודים בו זמנית כמו זיכרון שמיעתי אוטומטי לטווח הקצר ולטווח הארוך, הבנה, זכירה ושחזור סדרות עם רצף (וקצב) קבוע, הבחנה חזותית, זיכרון חזותי לטווח קצר ולטווח ארוך, ועוד, בד בבד עם הבנה של חוקיות שחוזרת על עצמה, הבנת רצף של תהליך ורצף של יחסי סיבה - תוצאה.

זאת ועוד: לימודי החשבון מצריכים יכולת דיוק תוך מיקוד קשב על מנת להבחין בין טפל לעיקר, ולשים לב לפרטים הקטנים. ואם לא די בכך אזי השפה המתמטית עושה שימוש שונה במושגים יומיומיים שעלולים לגרום לאי הבנות, הגם שמחקרים רבים מלמדים על מתאם חיובי גבוה בין פְּנִיוּת ורווחה רגשית לבין היכולת להתמודד בהצלחה עם לימודי החשבון.

תרגיל קשה, חגית בנזימן

כששואלים אותי חידות בחשבון

אני משתדל מאוד לעשות הכל בראש ולא באצבעות.

ורק לפעמים בתרגיל מסובך, עושה באצבעות, כי אז אני מוכרח.

וכדי שלא ירגישו ולא ישימו לב

אני עושה כאילו – אני שר לי ומתופף.